CONTENIDO

1. Preliminares 15

1.1. Notaci?n y operaciones b?sicas . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Inversa, independencia y ortogonalidad . . . . . . . . . . . 18

1.3. Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.1. Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4.2. Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5. Descomposici?n en valores singulares (DVS) . . . . . . . . 56

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2. Aritm?tica de precisi?n finita 75

2.1. Sistemas de numeraci?n posicionales . . . . . . . . . . . . . 76

2.2. Representaci?n de n?meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.3. El est?ndar IEEE [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4. Errores de aproximaci?n: absoluto y relativo . . . . . . . . . 94

2.5. Aritm?tica de punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.6. Condici?n de un problema y estabilidad de un algoritmo . . 110

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3. Sistemas de ecuaciones lineales 121

3.1. Sensibilidad de Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.2. Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.3. Eliminaci?n gaussiana y factorizaci?n LU . . . . . . . . . . 140

3.4. Soluci?n del sistema Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.5. Pivoteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.6. Sistemas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.6.1. Sistemas sim?tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.6.2. Sistemas sim?tricos definidos positivos . . . . . . . . . . . 162

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4. M?nimos cuadrados lineales 177

4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.2. Soluci?n mediante las ecuaciones normales . . . . . . . . . 184

4.3. Factorizaci?n QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.3.1. Proceso de Gram-Schmidt y la factorizaci?n QR. . 187

4.3.2. Reflexiones de Househ?lder y la factorizaci?n QR . 196

4.3.3. Transformaciones de Givens y la factorizaci?n QR . 206

4.4. Soluci?n mediante la factorizaci?n QR . . . . . . . . . . . . 214

4.5. Soluci?n mediante la descomposici?n en valores singulares . 216

4.6. Sensibilidad del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5. Valores y vectores propios 231

5.1. Propiedades matem?ticas del problema . . . . . . . . . . . . 232

5.2. Sensibilidad de valores y vectores propios . . . . . . . . . . 245

5.2.1. Sensibilidad de los valores propios . . . . . . . . . . 246

5.2.2. Sensibilidad de los vectores propios . . . . . . . . . 253

5.3. C?lculo num?rico de valores y vectores propios . . . . . . . 259

5.3.1. M?todo de las potencias o iteraci?n directa . . . . . 259

5.3.2. Iteraci?n inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5.3.3. Iteraci?n inversa con desplazamiento . . . . . . . . 266

5.3.4. Iteraci?n inversa con cociente de Rayleigh . . . . . . 267

5.4. M?todo de dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Bibliograf?a 281

?ndice alfab?tico 289

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Álgebra lineal numérica